Страница № 258. Учебник

Учебник: Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: профил. уровень / М. Я. Пратусевич, К. М. Столбов, А. Н. Головин. — М.: Просвещение, 2009. — 415 с.: ил.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, «258», 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300, 301, 302, 303, 304, 305, 306, 307, 308, 309, 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 318, 319, 320, 321, 322, 323, 324, 325, 326, 327, 328, 329, 330, 331, 332, 333, 334, 335, 336, 337, 338, 339, 340, 341, 342, 343, 344, 345, 346, 347, 348, 349, 350, 351, 352, 353, 354, 355, 356, 357, 358, 359, 360, 361, 362, 363, 364, 365, 366, 367, 368, 369, 370, 371, 372, 373, 374, 375, 376, 377, 378, 379, 380, 381, 382, 383, 384, 385, 386, 387, 388, 389, 390, 391, 392, 393, 394, 395, 396, 397, 398, 399, 400, 401, 402, 403, 404, 405, 406, 407, 408, 409, 410, 411, 412, 413, 414, 415

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Опять обратим внимание на то, что мы не записываем в системе условие х — 1 > 0, так как при решении находимы те х, при которых х - 1 = 2х, а 2х > 0. II

В заключение отметим, что существует несколько чисел, которые наиболее часто встречаются в качестве оснований логарифмов, поэтому для логарифмов по таким основаниям введены специальные символы: lgx = log₁₀x — этот логарифм называется десятичным; lnx = log_ex — этот логарифм называется натуральным (е~ 2,71828..., подробнее об этом числе см. в главе VII).

В информатике часто употребляется также логарифм по основанию 2, который иногда обозначают lb, однако это обозначение еще не стало общепринятым.

Пример 27. Докажем, что log₂3 — иррациональное число.

□ Будем доказывать от противного. Пусть log₂ 3 = —, гдеpeZ, qeN. £ ^

Это значит, что 2⁹ = 3 по определению логарифма. Тогда 2^р = 3^q. Очевидно, что р Ф 0. Если р < 0, то 2^р < 1, a 3^q > 1, а значит, равенство 2^р = 3^q не может выполняться. Если же р — натуральное число, то мы получим равенство двух натуральных чисел, одно из которых в своем разложении на простые множители содержит только двойки, а другое — только тройки, что противоречит основной теореме арифметики. Полученные противоречия доказывают утверждение задачи. Ш

В предыдущих рассмотрениях осталось недоказанным то, что существует логарифм каждого положительного числа по любому положительному, не равному 1, основанию.

Этим утверждением мы активно пользуемся (иначе трудно объяснить, почему существует, например, log₂3 из предыдущего примера). Доказательство данного утверждения в курсе приведено не будет. Во всяком случае, это утверждение того же ряда, что и существование корня квадратного из любого положительного числа (и доказывается примерно так же). Поэтому если в курсе основной школы никто не усомнился в существовании корня квадратного, то нет оснований сомневаться и в существовании логарифма!

3. Свойства логарифмов, связанные с арифметическими действиями

Поскольку логарифм есть не что иное, как показатель степени, то свойства логарифмов повторяют свойства показателей степени. Например, если степени перемножаются, то показатели складываются. Поэтому логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс (М. Я. Пратусевич, К. М. Столбов, А. Н. Головин) 2009

Страница № 258.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс