Страница № 103. Учебник

Учебник: Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: профил. уровень / М. Я. Пратусевич, К. М. Столбов, А. Н. Головин. — М.: Просвещение, 2009. — 415 с.: ил.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, «103», 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300, 301, 302, 303, 304, 305, 306, 307, 308, 309, 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 318, 319, 320, 321, 322, 323, 324, 325, 326, 327, 328, 329, 330, 331, 332, 333, 334, 335, 336, 337, 338, 339, 340, 341, 342, 343, 344, 345, 346, 347, 348, 349, 350, 351, 352, 353, 354, 355, 356, 357, 358, 359, 360, 361, 362, 363, 364, 365, 366, 367, 368, 369, 370, 371, 372, 373, 374, 375, 376, 377, 378, 379, 380, 381, 382, 383, 384, 385, 386, 387, 388, 389, 390, 391, 392, 393, 394, 395, 396, 397, 398, 399, 400, 401, 402, 403, 404, 405, 406, 407, 408, 409, 410, 411, 412, 413, 414, 415

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Замечание. Из свойства 2 для k = —1 и свойства 3 получаем, что если а \ с и Ъ \ с, то (а - Ь) \ с.

В дальнейшем мы не будем подробно доказывать такие очевидные следствия из основных свойств делимости.

Пример 3. Докажем, что дробь fo—j. несократима (п — натуральное число). ^{Зп + 2}

□ Пусть дробь сокращается на некоторое натуральное число d > 1. Это означает, что ее числитель и знаменатель делятся на d, т. е. (2п + 1) ! d и (3п + 2) ■ d. Домножим данные соотношения так, чтобы коэффициенты перед п стали одинаковыми. По свойству 2 получаем 3(2п + 1) • d и 2(3п + 2) • d. Тогда разность полученных чисел тоже делится на d, откуда 1 • d, но по предположению d > 1, что противоречит свойству 5. ®

Пример 4. Докажем, что (ab - Ъа) \ 9, где а&с... означает число, записанное цифрами а, &, с, ... в том же порядке.

□ Имеем ab = 10а + fe, ba = 10fc + а, откуда ab - Ъа = 9 (а - Ъ). По определению делимости (afe - Ъа) • 9. Ш

Иногда полезным при решении задач является следующее утверждение.

Утверждение .........■■■■....................■■■—■■■■■■■—.■■■■■■ ..........

Среди п подряд идущих целых чисел есть ровно одно, делящееся на п.

□ доказательство. Пусть данные числа a_l9 а_х + 1, а_х + 2, ..., а_х + п - 1 и пусть а_х имеет остаток г при делении на п. Если г = 0, то утверждение доказано. Пусть г > 0. Тогда число а_х + п - г входит в множество рассматриваемых чисел, так как г < п. При этом, так как ^а\ = nq + г, то а_г + п - г = n(q + 1) \ п. Итак, существование числа, делящегося на п, среди данных чисел доказано.

Докажем, что среди п подряд идущих целых чисел нет двух различных чисел, делящихся на п. Если среди данных чисел есть хотя бы два числа, кратных п, то разность между ними кратна п, следовательно по модулю не меньше п. Однако среди п подряд идущих чисел выбрать два с разностью, модуль которой не меньше п, не удастся (наибольший модуль разности равен, очевидно, п■ - 1). Ш

Пример 5. Докажем, что при всех целых п выполнено утверждение (я³ + Зп² + 2п) I 3.

□ Разложим выражение на множители: п³ + Зп² + 2п = п (п+ 1) (п + 2). Значит п³ + Зп² + 2п представимо в виде произведения трех подряд идущих целых чисел, среди которых есть делящееся на 3, а тогда их произведение делится на 3. ®

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс (М. Я. Пратусевич, К. М. Столбов, А. Н. Головин) 2009

Страница № 103.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс