Страница № 066. Учебник

Учебник: Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: профил. уровень / М. Я. Пратусевич, К. М. Столбов, А. Н. Головин. — М.: Просвещение, 2009. — 415 с.: ил.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, «66», 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300, 301, 302, 303, 304, 305, 306, 307, 308, 309, 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 318, 319, 320, 321, 322, 323, 324, 325, 326, 327, 328, 329, 330, 331, 332, 333, 334, 335, 336, 337, 338, 339, 340, 341, 342, 343, 344, 345, 346, 347, 348, 349, 350, 351, 352, 353, 354, 355, 356, 357, 358, 359, 360, 361, 362, 363, 364, 365, 366, 367, 368, 369, 370, 371, 372, 373, 374, 375, 376, 377, 378, 379, 380, 381, 382, 383, 384, 385, 386, 387, 388, 389, 390, 391, 392, 393, 394, 395, 396, 397, 398, 399, 400, 401, 402, 403, 404, 405, 406, 407, 408, 409, 410, 411, 412, 413, 414, 415

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

естественной области определения». Неравенства, не имеющие решений, также считаются равносильными!

Еще раз отметим, что все до сих пор сказанное выглядит абсолютно одинаково для уравнений и неравенств: мы только поменяли знак равенства на знак неравенства и заменили слово «уравнение» на слово «неравенство», что неудивительно, ибо уравнения и неравенства суть предикаты, и понятия следования и равносильности для них являются частными случаями соответствующих понятий для предикатов.

А вот дальше начинаются различия. Логика решения неравенства сложнее, чем уравнения; кроме того, стандартные преобразования, применяемые при работе с уравнениями, имеют свои особенности в применении к неравенствам.

Например, вам известно, что умножение обеих частей неравенства на отрицательное число меняет знак неравенства на противоположный (при умножении уравнения на число нужно было следить только за тем, чтобы оно не было равно нулю, а здесь приходится обращать внимание еще и на знак числа). Многие преобразования, в случае уравнения расширяющие ООУ и ведущие к приобретению посторонних корней (умножение на знаменатель, возведение в квадрат и др.) при работе с неравенствами могут привести к потере решений и вообще принципиально неверному ответу. К тому же, в отличие от уравнений, в неравенствах, как правило, невозможна проверка всех решений. Это означает, что схема, использующая цепочку следствий с последующей проверкой найденных решений, столь удобная для уравнений, для неравенств непригодна.

И все-таки многие приемы и методы аналогичны приемам и методам решения уравнений (равносильные преобразования, разложение на множители, замена переменной). Однако главное замечание состоит в том, что решение практически любого неравенства при помощи «метода интервалов» можно свести к решению одного или нескольких уравнений! Это, собственно, и будет нашим основным методом в работе с неравенствами. (При этом корни соответствующего уравнения доставляют нам часть граничных точек для включаемых в ответ промежутков.)

Рассмотрим теперь вопрос о равносильных преобразованиях неравенств.

В курсе основной школы мы пользовались тем, что множество решений неравенства не меняется, если:

1) к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число;

2) обе части неравенств умножить (разделить) на одно и то же положительное число;

3) обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный.

Эти утверждения меняются, если слово «число» заменить на слово «выражение» или «функция». Мы будем пользоваться следующим набором утверждений:

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс (М. Я. Пратусевич, К. М. Столбов, А. Н. Головин) 2009

Страница № 066.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс