Курс по алгебре Как научиться решать уравнения на отлично (9 класс).

Муниципальное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 82

Дзержинского района г. Волгограда

Программа

по математике

для учащихся девятых классов

«Как развить умение решать уравнения на «отлично»!»

(или

«Возвращаюсь в «вечному вопросу»

алгебры - уравнениям!»)

Выполнила: учитель высшей квалификационной категории, учитель математики МОУ СОШ № 82

Веремеенко Татьяна Васильевна

Волгоград 2016

Пояснительная записка.

Программа курса «Как развить умение решать уравнения на «отлично»!» составлена с учетом особенностей математического образования девятиклассников по теме «Уравнения» и с учетом специфики, особенностей, приоритетов учащихся школы. Данный курс создан под потребности учеников 9 класса школы при изучении математики иметь в запасе набор приемов, позволяющих в стандартной ситуации использовать их быстро и с высокой степенью надежности получить ожидаемый результат. Назначение курса – обобщить изученный ранее материал, иметь возможность взглянуть на задачи «как бы сверху», увидеть повторяемость действий при решении и линейных и квадратичных, и дробно-рациональных, и уравнений с модулем, с параметром, которые могут стать алгебраическим инструментом при решении текстовых задач.

Желание оценить свои возможности и выявить необходимые качества, обеспечивающие такое поведение, желание иметь потребность в результате (тем самым достичь своего успеха) являются мотивами для участия подростков в математических олимпиадах и конкурсах различного уровня.

Цель курса «Как развить умение решать уравнения на «отлично»!» - формирование алгоритмической культуры школьника, умение выводить рассуждения на обобщение. При этом решаются задачи:

1. Уметь работать с различными источниками информации, находить информацию по данной теме.

2. Систематизировать и классифицировать задачи, выбирать задачи в соответствии с готовыми критериями (возможно, создавать новые).

3. Находить аналоги в практической жизни для решения задач с уравнением, составлять математические модели к практическим ситуациям, превращать их в задачи и решать эти проблемы.

4. Создавать продукты мыследеятельности, определять качество этих продуктов, корректировать качество, подчеркивать положительные характеристики созданных продуктов и их авторов.

5. Предъявлять свою позицию в решении уравнений на основе того или иного приема в письменной и устной форме, уметь читать и понимать графическую задачу, понимать «красоту уравнения», уметь преобразовывать уравнения грамотно, по правилам.

6. Определять степень сложности задачи по теме «Как развить умение решать уравнения на «отлично»!» с учетом критериев сложности задачи.

Данный курс имеет необходимое оборудование: большинство родителей имеют высшее образование, связанное с изучением математики и достаточный уровень научно-популярной, учебной, справочной литературы в домашней библиотеке. Каждый ученик имеет дома компьютер, медиа-обеспечение и возможность выхода в Интернет. В связи с этим самостоятельная работа с данными средствами или совместная работа с родителями позволит каждому ученику подобрать необходимый учебный материал по истории математики и задачный материал для его дальнейшего использования в курсе. Этому способствует и достаточный библиотечный фонд и методическое обеспечение кабинета математики.

Создаваемые учащимися продукты деятельности в ходе освоения данного курса позволят его освоить в форме тренингов, семинаров, практических, презентационных работ и др. Повторяемость организационных форм занятий позволит сделать процесс математического образования более адаптационным. Серии «семинар», «лекция», «тренинг»»практикум» позволяют учесть принцип повторяемости (что благоприятно сказывается на развитие учебной ситуации, т.к. делает ее определенной, подчиненной правилам) и принцип введения нового элемента (что является необходимой потребностью учеников подросткового возраста в поиске нового, знакомстве с новым, необычным). Множество занятий в форме тренинга позволит достичь необходимых трудовых и практических навыков школьников, тем самым основную часть трудных для них задач преобразовать в разряд типичных, решаемых известным методом. Лекционная форма работы предусмотрена в каждой серии занятий, причем роль учителя при этом меняется – от чтения лекции к чтению лекции с элементами семинара, семинара-практикума до подготовки лекции силами лучших учеников группы.

Количество часов, отводимое на освоение той или иной темы, предполагает учёт времени на повторение учебного материала, ознакомление с новым материалом, на проведение занятия в той или иной форме. Коррекция количества часов на изучение отдельных тем предусмотрена: возможно увеличение количества часов на подготовку к празднику успеха и его проведение за счет систематизации учебного материала по теме «Знакомимся с веером приемов решения уравнений (разложением на множители, заменой переменных, графическим методом и др.)», преподнесения всех приемов в виде отдельного блока. Успешное освоение идеи преобразований и скорость техники освоения в ходе тренинга таких преобразований позволит констатировать определенный уровень готовности учащихся к обучению в условиях старшей школы по программам углубленного изучения математики или получения профильного обучения.

Констатация результатов и промежуточных результатов курса «Как развить умение решать уравнения на «отлично»!» для учащихся 9 класса представлена:

• степенью участия школьников в создании учебных материалов по данной теме,

• уровнем сложности и многообразия подготовленных материалов,

• готовностью к систематизации подобранных задач,

• умением выбирать задачи по заданным критериям и создавать новые, аналогичные данным задачам под известные критерии,

• умением отделять те типы уравнения, которые под известные критерии не подходят,

• умением определять качество и улучшать качество учебных материалов в ходе их использования,

• умением определять самого успешного ученика в изучении данной темы,

• умением организовать презентацию своего способа решения уравнения, представления нового метода решения задач в аудитории,

• умением демонстрировать графическую культуру при решении уравнений,

• умением видеть красивые решения уравнений,

• умением анализировать олимпиадные задачи и распределять их по степени трудности в ходе совместного обсуждения.

Предполагается, что те задачи, которые будут предложены учащимися и учителем, но не будут рассмотрены в программе курса для учащихся 9 класса «Как развить умение решать уравнения на «отлично»!» станут основой для дальнейшего освоения темы «Уравнения и их приложения» в ходе освоения курса в условиях профильного обучения на старшей ступени.

Учебно-тематический план.

2

Знакомство с видами уравнений с параметрами и стандартными приемами их решения.

10.

Пробуем решать простейшие уравнения с параметрами.

2

Отработка алгоритмов решения линейных, квадратичных уравнений с параметрами.

11.

Мы решаем уравнения на «отлично»!

1

Решение олимпиадных задач по теме «Уравнения», знакомство со спецификой решения олимпиадных задач

Всего: 17

Содержание программы .

Занятие 1. Вводное занятие.

«История математики: понятие уравнений и их место в науке»,

«Уравнение в практической жизни»

Любознательность математиков. Желание описать события языком математики (составить уравнение). Ф. Виет, Д. Кардано и формулы решения уравнений:

1. ах²bхс , квадратное уравнение решаем по формулам Виета.

D = b² – 4ac ;

2. х³pxq., кубическое уравнение , которое можно решить по формуле Кардано.

X= +

Решить уравнение:

х³ 15х  124 0.

Решение. Это уравнение можно решить,разложив левую часть уравнения на множители способом группировки:

x³ – 16x + 31x + 124 = 0$

x (x²-16) + 31(x + 4) = 0;

x (x- 4) (x+ 4) + 31(x + 4) = 0;

(x+ 4) (x² – 4x + 31) = 0;

x+ 4 = 0; или x² – 4x + 31= 0;

x = - 4; D = 14 – 124, D меньше 0, нет корней. Ответ: -4

Решите старинную задачу.

1. Вопросил некто некоего учителя: «Сколько имеешь учеников у себя, так как хочу отдать своего сына к тебе в училище». Учитель ответил: «Если ко мне придет учеников еще столько же, сколько имею, и полстолько, и четвертая часть, и твой сын, тогда у меня учеников 100». Сколько было у учителя учеников?

2. Число десятков двузначного числа составляет две трети числа единиц, а число, написанное теми же цифрами, но в обратном порядке, больше первоначального на 18.

Найти число.

(Решите эту задачу двумя способами).

Занятие 2. Создаем копилку задач, обеспечивающую тему «Уравнения».

1.О.Д.З. уравнения

Задания: найти О.Д.З. уравнений

Тема для дискуссии:

Как распознать посторонние корни при решении уравнения (3)?

Сколько способов и какой из них рациональный?

2. Равносильные уравнения

Задание: Равносильны ли уравнения?

1. и

2. и

3. и

3.Освобождение от знаменателя.

Задание. Решить уравнение

1)

2)

3)

4)

5)

Занятия 3-8 . Равносильные преобразования.

Отработаем умение освобождаться от знаменателя.

Работаем с областью определения и равносильностью уравнений

Отрабатываем приемы равносильных преобразований.

Выделяем трудности решения уравнений вида

К(х)· р(х)=0

Знакомимся с веером приемов решения уравнений (разложением на множители, заменой переменных, графическим методом и др)

Демонстрируем умения видеть необходимый способ решения задачи на основе известного приема и умение применять этот прием для получения результата

1. Уравнение b(x)q(x)p(x)0 равносильно совокупности уравнений

 b(x) 0,

 q(x) 0,

 p(x) 0.

Решить уравнения: 1) (х²2х4)(х²9)=0

2) (х²10х25)(2х7)(х1)=0

2. Освобождение от знака абсолютной величины.

х, х 0,

Определение модуля: х  х, х 0.

Освободиться от модуля: 1) b(x) 0 3)b(x) q(x)  0

2) b(x) с 4) b(x) q(x)  с

Задания для самостоятельной работы: Решить уравнения:

1. 1. х2  3

   2. х4  13х

   3. 3х2 3х  2 х2  4

Проверьте, что: 1)b(x)  q(x) (( b(x) q(x) или b(x)   q(x)) и q(x)  0).

q(x)  0

2) b(x)  q(x) b²(x)  q(x)

Задания для самостоятельной работы.

Решить уравнения:

1. х²6х  х,

2. х²6х  х²6х,

3. 5х1  х,

4. х²5х  9х.

1. Целые корни уравнения с целыми коэффициентам.

Возьмем уравнение 5х²14х30. Предположим, что число m – корень этого уравнения, т.е. 5m²14m30. Это равенство можно переписать так: m(5m14)3. Число, записанное слева, делится на m, поэтому и равное ему число 3, также делится на m.

Вывод: если уравнение 5х²14х30 имеет целый корень, то он является делители свободного члена. Теперь понятно как этот корень можно отыскать: нужно выписать все делители свободного члена и затем подстановкой проверить, является ли какое-нибудь из этих чисел корнем уравнения.

Этот прием (решения уравнения) носит общий характер. Его можно использовать для нахождения целых корней уравнений более высоких степеней.

Задание: Решить уравнение 183х²184х10.

Пример. Найти целые корни уравнения 2х³х²5х20.

Решение.

Делители свободного члена: 1; -1; 2; -2.

Подставим их в уравнение: 21³1²5120,

22³2²5220,

2(1)³(1)²5(1)20,

2(2)³(2)²5(2)20.

Уравнение имеет два целых корня: 1 и 2.

Задания для самостоятельной работы: Решите уравнения в целых числах.

1. 3х⁴2х²30

2. х⁵3х⁴5х³15х²4х120

2. Разложение на множители.

Для разложения многочлена на множители, пользовались специальными приемами – вынесение общего множителя с помощью формул, формулами сокращенного умножения, способом группировки. А теперь еще будем знать, что многочлен можно разложить на множители, один из которых есть разность между переменной и найденным целым корнем.

Научимся делить многочлен на многочлен уголком.

Пример.

_ 2х²х15 х3

2х²6х  2х5

5х15

5х15

0

Получим: 2х²х15(х3)(2х5).

Задания для самостоятельной работы. Решить уравнения:

1. х⁴2х³х20,

2. х³12х²9х220,

3. 2х³7х²90,

4. 5х³54х²39х100.

3.Замена переменной.

Этот способ позволяет: понизить степень уравнения, свести уравнение к линейному или квадратному уравнениям.

Задания: Решить уравнение

1. 1. (х3)⁴13(х3)²360

   2. (х1)²(х²2х5)0

   3. (х²4х1)(х²4х4)4

   4. (х²7х13)²(х3)( х4)0

   5. (х²4х²)5(х2х)100

   6. (х²16х²)4(х4х)110

   7. х²1х²3х3х20

   8. х²1х²8х8х90

   9. х⁶28х³270

   10. х⁶9х³80

   11. (х1)(х2)(х3)х³14х2

   12. х(х1)(х2) (х1)(х2)(х3)

3. Графический способ

Умения: 1. Построение основных графиков:

уkхb; уaх²; уkх; у aх²bхc; уkх; уb(х).

уa; уb.

2.Чтение графика

С помощью графика можно ответить на вопросы:

1. 1. Есть ли корни у уравнения?

   2. Сколько корней имеет уравнение?

   3. Найти приближенные значения корней.

   4. Найти знаки корней.

Задания для самостоятельной работы

1. Есть ли корни у уравнения и если есть, то сколько?

   1. (х1)²2/х,

   2. х²6х48х0,

   3. х2 х2,

   4. ⁵х х2,

   5. х^¼ х0,

   6. х²х2,

   7. 5х1х,

   8. х²18,

   9. хх²3,

   10. х12х²,

   11. х²4х4х22,

   12. х³4х30.

Занятия 9 – 12.

Собираем и рассматриваем текстовые задачи различного типа, решаемые с помощью уравнений

Решаем текстовые задачи различного типа с помощью уравнений

Решение задач на составление уравнений.

1. На плоскости отмечено несколько точек, некие три из которых не лежат на одной прямой. Все они попарно соединены отрезками. Сколько всего отмечено точек, если проведено 105 отрезков?

2. Цена товара была дважды повышена на одно и тоже число процентов. На сколько процентов повышалась цена товара каждый раз, если его первоначальная стоимость 200р., а окончательная 338р.?

3. Туристический маршрут состоит из двух участков: 9 км подъема и 12км спуска. При подъеме скорость туристов на 3 км/ч меньше, чем при спуске, а их средняя скорость на всем маршруте равна 4,2 км/ч. Чему равна скорость туристов при спуске?

4. Смешали 10%-ный и 25%-ный растворы соли и получили 3 кг 20%-ого раствора. Какое количество каждого раствора взяли?

5. Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля в 5% и 40%. Сколько нужно взять каждого сорта стали, чтобы получить 140m стали с содержанием никеля в 30%.

6. Два насоса различной мощности, работая вместе, наполняют бассейн за 4ч. Для заполнения половины бассейна первому насосу требуется времени на 4 ч больше, чем второму для заполнения ¾ бассейна. За какое время может наполнить бассейн каждый насос в отдельности?

7. От пристани А вниз по течению отправились катер и плот. Катер доплыл до В, повернул обратно и встретил плот через 4 ч. после выхода из А. Сколько времени шел катер от А до В?

Занятия 12 – 17.

Знакомимся с уравнениями с параметрами

Пробуем решать простейшие уравнения с параметрами.

Уравнения с параметрами.

1. Линейное уравнение.

Уравнение с одной переменной в первой степени сводится к решению уравнения pxq. Сколько решений может иметь это уравнение?

I. p0, х q / p – одно решение.

II. p0 и q 0, х – любое число.

III. p0 и q0, нет решения.

Задания для самостоятельной работы.

1. При каких значениях а и b уравнение (а – 2)х = b + 1 не имеет корней?

2. При каких значениях а и b любое число является решением уравнения (а + 3)х = b – 1 ?

3. (m+1)(n-2)x = (m-1)(n-2). При каких значениях m и n уравнение:

а) не имеет решения?

в) имеет бесконечно много решений?

4. Решить уравнение: (а²-1)х = а+1.

5. Решить уравнение: х+1 +а1-2х=1,5.

6. Найти а, при которых уравнение  а-2х+1=х+3 имеет единственное решение.

2. Квадратное уравнение.

Решение квадратного уравнения с параметрами должно выполняться как естественный ход решения, которое опирается на знания формул Виета и формул корней.

Ах²+bx+с = 0.

-b-D -b+D

Формулы корней: х1=  ; х1=  ; D=b-4ac

2a 2a

Если: D0, два корня

-b

D=0, один корень х= 

2a

D0, нет корней

Формулы Виета: х1+х2= -b/2а и х1х2= с/а.

Задания для самостоятельной работы.

1. Найдите все целые значения p, при которых данное уравнение х²+pх+15=0 имеет целые корни.

2. Найдите все положительные значения q, при которых уравнение х²+5х+ q=0 имеет целые корни. Найдите несколько целых отрицательных значений q, при которых уравнение имеет целые корни. Можно ли перечислить все такие значения q?

3. Найдите все целые значения m, при которых квадратный трехчлен можно разложить на линейные двучлены с целыми коэффициентами: с²+ mс+10.

4. Найдите значение k, при котором разложение на множители трехчлена 2х² - 5х+ k содержит множитель (2х+3).

5. При каких значениях с уравнение х²+2х+с=0 не имеет корней? Укажите одно из таких значений с.

6. При каких значениях с уравнение х²+6х+с=0 имеет два корня? Укажите одно из таких значений с.

7. При каких значениях k уравнение х²+kх+9=0 имеет корни?

8. При каких значениях k уравнение 16х²+kх+1=0 не имеет корней?

9. При каких значениях с уравнение 15х²+ сх+ ¼ =0 имеет два корня?

10. При каких значениях k уравнение kх²-6х+k=0 имеет два корня?

11. При каких значениях а уравнение ах²+х-3=0 имеет два корня?

12. Решите уравнение ах²+(2а²-1)х - 2а=0.

13. При каких значениях параметра b уравнение bх²-х+b=0 имеет ровно один корень?

14. Решите уравнение (а+1)х² - 2х+1- а=0 и определите, при каком а уравнение имеет единственный корень.

15. Решите уравнение ах² - (2а+ b)х+2b = 0.

16. При каком значении параметра а уравнение 25х² - 20+а = 0 будет иметь равные корни?

17. Найдите все значения параметра а, при которых корни х1 и х2 уравнения х² - (а-2)х - (а+3) = 0 удовлетворяет условию х1²+х2²=9.

Занятие 17

Решение олимпиадных задач по теме «Уравнения», знакомство со спецификой решения олимпиадных задач

Литература для учащихся.

1. Учебник. Математика – 8. Г.В. Дорофеев, «Дрофа», 2012г.

2. Учебник. Математика – 9. Г.В. Дорофеев, «Дрофа», 2012г.

2. За страницами учебника алгебры. Л.Ф. Пичурин. «Просвещение», 1990г.

3. Шаг за шагом (математ-р.т.) – 9, И. Шарыгин., М. 1995г.

4. Дидактический материал 9 кл., алгебра. С.Н. Зеленская.

«Учитель», 2012г.

Литература для учителя.

1. Уравнения. Моск. универ. М.К. Потапов., 1992г.

2. Дидактический материал, алгебра – 7, алгебра – 8. С-П, Б.Г. Зив, 2013г.

3. Дидактический материал, алгебра – 9. В. «Учитель»,

С.Н. Зеленская, 2012г.

4. За страницами учебника алгебры. Л.Ф. Пичурин.

«Просвещение», 1990г.

5. 514 задач с параметрами. С.А. Тынянкин. Волг. 1991г.