Страница № 222. Учебник

Учебник: Геометрия: Учеб. для учащихся 10 кл. с углубл. изуч. математики / А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик.— М.: Просвещение, 1999. — 238 с.: ил.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, «222», 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

20.1. Пусть F— выпуклая фигура. Докажите, что: а) отрезок, соединяющий внутренние точки F, содержит только внутренние ее точки; б) отрезок, соединяющий внутреннюю точку F с граничной, точкой F, содержит, за исключением его конца; только внутренние точки F.

Докажем утверждение а). Возьмем две внутренние точки Ли В фигуры F. Соединим их отрезком АВ. Заметим, что так как фигура F выпуклая, то весь отрезок АВ лежит в фигуре F.

Для доказательства, того, что отрезок Л В. содержит только внутренние точки фигуры F, возьмем любую трчку. X этого .отрезка, .кроме Л иS (про них уже известно, что они внутренние),. и докажем,, что Aj — внутренняя точка фигуры F. Что же надо.будет доказать?. То, что найдется шар с центром в точке X, который целиком принадлежит F.

(В этом месте легко уйти в доказательство от противного и предположить: пусть такого шара нет .и... Попробуйте продвинуться на этом пути.) , . ;

Что же у нас есть для доказательства? Во-первых, мы взяли Л — внутреннюю точку F. Это означает, что существует шар с центром в точке Л, принадлежащий F. Обозначим его Ki, и пусть его радиус Rt. Во-вторых, мы взяли внутреннюю точку В: Значит, существует шар с центром в точке В■ принадлежащий F. Обозначим его /Сг, и пусть его радиус /?2- В-третьих» фигура F выпуклая. Поэтому, соединяя точки ;/Ci и /Сг всевозможными отрезками, мы заключаем, что все эти отрезки ле-жат в фигуре F. Объединение всех этих отрезков представляет собой фигуру F1 —усеченный конус вместе с двумя'частями шара (?). Если теперь взять шар с центром в точке X и радиусом; меньшим чем R\ и Ri, то видно, что он расположится внутри построенной фигуры F\ (рис. 262). Но Ft cz F (?). Поэтому такой шар будет принадлежать фигуре F. Искомый шар найден, и доказательство закончено.

Геометрия, 10 класс (А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик) 1999

Страница № 222.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по геометрии за 7 класс

Учебники по геометрии за 8 класс

Учебники по геометрии за 9 класс

Учебники по геометрии за 10 класс

Учебники по геометрии за 11 класс