Страница № 256. Учебник

Учебник: Алгебра и начала анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — М.: Мнемозина, 2007. — 287 с.: ил.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, «256», 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

По условию 0 < a < значит, tg ka < tg = 1 и tg a < 1. Но тогда

О < 1 - tg ka tg a < 1 и, следовательно, ^—tgfax tga ^> ^ ⁺ ^ ^ ^a*

По принципу математической индукции заключаем, что неравенство (17) верно для любых натуральных п ^ 2. I

Пр имер 17. а) Доказать, что если положительные числа х_и х₂, х_п таковы, что х_гх₂ • ... - х_п = 1, то х_х + х₂ + ... + х_п > п.

б) Доказать, что для любого натурального числа п > 2 справедливо

неравенство -—- > • ... • а_п, где все числа а_и а₂> ..., а_п

положительны (среднее арифметическое п положительных чисел не меньше их среднего геометрического — неравенство Коши).

Решение, а) Проверим выполнение утверждения для п = 2. Пусть произведение двух положительных чисел х_и х₂ равно 1. Поскольку

-2— ^ V^х 1*2 > получаем, что х_г + х₂ > 2, что и требовалось установить.

Предположим, что утверждение выполняется для п = k> т. е. предположим, что если х_хх₂ • ... - х_к = 1, где все множители — положительные числа, то х_г + х₂ + ... + x_k > k. Докажем, что тогда из равенства Х\Х₂ • ... • x_k • x_{k + 1} = 1 следует неравенство х_г + х₂ + ... + x_k + x_{k + 1} > k + 1.

Если Xi = х₂ = ... = x_k = x_{k +} i = 1, то Xi + x₂ + ... + x_k + x_{k + 1} = k + 1; можно записать и так: х_х + х₂ + ... + x_k + x_{k + 1} > k + 1. Значит, в этом тривиальном случае утверждение выполняется. Если в произведении х_гх₂ • • x_kx_{k +} i не все множители равны 1, то найдется хотя бы одна пара чисел таких, что одно больше 1, а другое меньше 1; обозначим эти числа соответственно x_k и x_{k + u} а их произведение обозначим Х_к.

Имеем Х\Х₂ • ... • x_k-_xx_kx_{k +} i = 1, т. е. х_хх₂ • ... • x_k-iX_k = 1. Поскольку произведение k положительных чисел равно 1, то по индукционному предположению их сумма не меньше k:

В самом деле, X_k - (x_k + x_{k + 1} - 1) = 1 + х_кх_{к + 1} - х_к - х_{к + 1} = = (х_к - l)(** + i - 1). Выше мы отметили, что х_к > 1, а х_{к + 1} < 1. Значит, (х_к - l)(** + i - 1) < 0, а потому Х_к < х_к + х_{к + 1} - 1.

А теперь рассмотрим интересующую нас сумму х_х + х₂ + ... + х_{к + 1}. Имеем: (х_г + х₂ + ... + х_к^) + (х_к + х_к+1) > (х_г + х₂ + ... + х_к-_г) + Х_к + + 1 ^ k + 1.

Алгебра и начала анализа, 11 класс. Часть 1 из 2. Учебник (А. Г. Мордкович, П. В. Семенов) 2007

Страница № 256.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс