Страница № 098. Учебник

Учебник: Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень: учебник для 10 класса / М. И. Шабунин, А. А. Прокофьев. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007. - 424 с.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, «98», 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300, 301, 302, 303, 304, 305, 306, 307, 308, 309, 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 318, 319, 320, 321, 322, 323, 324, 325, 326, 327, 328, 329, 330, 331, 332, 333, 334, 335, 336, 337, 338, 339, 340, 341, 342, 343, 344, 345, 346, 347, 348, 349, 350, 351, 352, 353, 354, 355, 356, 357, 358, 359, 360, 361, 362, 363, 364, 365, 366, 367, 368, 369, 370, 371, 372, 373, 374, 375, 376, 377, 378, 379, 380, 381, 382, 383, 384, 385, 386, 387, 388, 389, 390, 391, 392, 393, 394, 395, 396, 397, 398, 399, 400, 401, 402, 403, 404, 405, 406, 407, 408, 409, 410, 411, 412, 413, 414, 415, 416, 417, 418, 419, 420, 421, 422, 423, 424

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

величинам получаем неравенство противоположного смысла Легко проверить, что это правило сохраняется и в том случае, когда c<d, d< 0. Таким образом,

если с > d и cd > 0, то - < Если же с > d, но cd < 0 (т. е. с > 0, d < 0), с a

а^п-Ь^п = (а- Ь)(а^п-¹ + а^п~²Ь + ■ ■ • + Ь^п~¹) = (а - Ь) ^ а^{п k}b^k~\

доказанной в примере И §5 настоящей главы. Так как а — Ь> 0

и а > 0, а в сумме ]Г) aⁿ~^kb^k~I первое слагаемое положительно, k=\

и остальные неотрицательны, то а^п — Ь^п> 0, т.е. а^п>Ь^п. #

О Воспользуемся доказанной в §5 (пример 14) формулой

Если а > 0, b > 0 и а> Ь, то а²"⁺¹ > 6^2п+* по доказанному выше свойству 8°.

Если а < 0, 6 < 0 и а > 6, то — b > —а, где —а >0, -Ь > 0. Отсюда следует, что (—6)^2гг+1 > (—а)^2п+х, — Ь^2п+Х > — а^2дг+1,

Пусть, наконец, Ь ^ 0, a > 0, тогда a > b и a^2rH_1 > b²ⁿ⁺\ так как _a2n+i _>о₎ $п+\ Итак, если а и fc — произвольные действительные числа такие, что а> Ь, то а^2гг+1 > й^2гг+1 при любом я Е N. • 10° Если а> b > 0, то tfa > у/Ъ при любом п £ N, п ^ 2.

О Докажем это свойство методом от противного. Предположим, что тогда по свойству 8° (\/b>0_y \/а> 0) получаем 6 > а, что противоречит условию (а > Ь). О

Замечание. Свойство 10° остается в силе и в случае, когда а>Ь^ 0. 11° Если а, Ь — произвольные действительные числа такие, что a > b, то ^2п+у/а > при любом п е N.

Это свойство, как и свойство 10°, можно доказать методом от противного, используя свойство 9°.

12° Неравенство а^2п > Ь^2п, где azgN, имеет место в том и только в том случае, когда \а\ > \Ь\.

О Так как t²ⁿ = \t\²ⁿ, то неравенство а^2п > Ь^2п можно записать в виде \а\^2п > \Ь\^2п, откуда, применяя свойство 10°, получаем |а|>|6|.

Алгебра. Начала математического анализа, 10 класс (М. И. Шабунин, А. А. Прокофьев) 2007

Страница № 098.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс