Страница № 018. Учебник

Учебник: Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень: учебник для 10 класса / М. И. Шабунин, А. А. Прокофьев. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007. - 424 с.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, «18», 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300, 301, 302, 303, 304, 305, 306, 307, 308, 309, 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 318, 319, 320, 321, 322, 323, 324, 325, 326, 327, 328, 329, 330, 331, 332, 333, 334, 335, 336, 337, 338, 339, 340, 341, 342, 343, 344, 345, 346, 347, 348, 349, 350, 351, 352, 353, 354, 355, 356, 357, 358, 359, 360, 361, 362, 363, 364, 365, 366, 367, 368, 369, 370, 371, 372, 373, 374, 375, 376, 377, 378, 379, 380, 381, 382, 383, 384, 385, 386, 387, 388, 389, 390, 391, 392, 393, 394, 395, 396, 397, 398, 399, 400, 401, 402, 403, 404, 405, 406, 407, 408, 409, 410, 411, 412, 413, 414, 415, 416, 417, 418, 419, 420, 421, 422, 423, 424

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Пример 8. Пусть А(п) = {число /г³ + Ъп делится на 6} — неопределенное высказывание, заданное на множестве N. Выяснить, истинно или ложно высказывание Уп € N —> А(п).

Д Легко проверить, что высказывания >4(1), >4(2), >4(3), >4(4), Д(5) истинны. Тот же результат будет получаться, если мы будем продолжать проверку дальше. Но проверкой для отдельных значений п мы не можем установить истинность высказывания Уп е N —> >4(п).

Доказательство истинности высказывания V/zeN можно провести, например, следующим образом. Мы имеем

я³ + 5/2 = п³ — п + 6п = п(п² — 1) -f 6п~(п — 1 )п(п 4-1) + 6п.

Но из трех последовательных чисел п— 1, /г, /2 +1 обязательно одно делится на 3 и одно или два делятся на 2. Следовательно, произведение их делится на 6. Таким образом, и сумма (п— l)n(n-\- l)-f-6/2 = /z³ + 5/? при любом натуральном п делится на 6. Но это и означает истинность высказывания Уп Е N —>А(п). ▲

Пример 9. Пусть А(п) = {я³ — 14п² + 49п — 1 < 0} — неопределенное высказывание, заданное на множестве N. Установить, истинно или ложно высказывание Зп eN: А(п).

Д Пусть f(n) = п^ъ - 14/2² + 49м - 1, тогда /(1) = 35, /(2) = 49, /(3) = 47, /(4) = 35. Поэтому высказывание А(п) ложно при /2 = 1, 2, 3, 4.

Отсюда, однако, не следует, что высказывание {Зп Е N: А{п)} ложно, т. е. что не найдется натурального п_у для которого высказывание А (п) истинно.

Вычислив f(n) при /2 = 5, 6, 7, получаем /(5) = 19, /(6) = 5, /(7) = — 1. Следовательно, высказывание А(7) истинно и поэтому истинным является высказывание 3neN:A(n).

Заметим, что метод проб является далеко не наилучшим для проверки истинности высказывания 3neN: A(n)_t где А(п) — некоторое неопределенное высказывание. Ведь «благоприятное» значение п (для которого А(п) истинно) может встретиться где-то очень далеко от начальных значений, и нахождение этого п методом проб будет мучительной работой. А может случиться, что высказывание А(п) ложно для всех /г, и тогда метод проб вообще ни к чему не приведет. Поэтому более предпочтительным является общее рассуждение. Например, в рассматриваемом случае можно было рассуждать так:

Отсюда видно, что при п — 7 многочлен f(n) принимает значение — 1.

Итак, высказывание А{7) истинно, а потому истинно и высказывание Зп е N: А(п). ▲

Алгебра. Начала математического анализа, 10 класс (М. И. Шабунин, А. А. Прокофьев) 2007

Страница № 018.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс