Страница № 228. Учебник

Учебник: Сборник задач по алгебре: учебное пособие для 8-9 кл. с углубленным изучением математики - М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич; 7-е изд. — М.: Просвещение, 2001. — 271 с.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, «228», 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

3.6. Решение. я² + я = я (я +1) — произведение двух последовательных целых чисел, значит, одно из них четное, т. е. делится на 2. 3.7. Указание. Сгруппировав первое и последнее слагаемое, второе и предпоследнее и т. д., воспользуйтесь формулой суммы кубов. 3.8. Решение. 1³ + 2^г+ ... + 9³ = (1³ + 9³) + + (2³ + 8³) + (3³ + 7³) + (4³ + 6³) + 5³ = 10п+ 125 не делится на 10. 3.9. Решение. Если одно из чисел т или я четное, то тп, значит, и тп (т + п)— четное. Если же оба числа нечетные, то т + п, значит, и тп (т + п) — четное. 3.10. Указание. Число делится иа 111, значит, и иа 37. 3.12. Указание. Если

а-1—— = к, то а²Н—V=fe² — 2, а³Н—K-=k³ — 3k. 3.13. Решение. ad + bc = а а а

=(a + c)(b + d)—(ab + cd), поскольку уменьшаемое делится на а + с, вычитаемое

делится иа а + с по условию, то разность, т. е. ad + bc, делится иа а + с. 3.14. Нет.

Решение. Пусть каждый из 27 учеников дружит ровно с девятью одиоклас-

сниками, тогда количество дружащих пар равно —---не целое число. 3.19. Нет.

3.20. Нет. Указание. Если предположить, что 3fe = 12q + 2, где к и q — целые, то отсюда следует, что 2 делится на 3. 3.23. 3. 3.24. 4. 3.25. 12л — 3, n£N. 3.28. 1. 3.29. Решение. Так как п не кратно 2, то n=2k +1 и л² — 1 =(п + 1) (п — 1) = =4k(k+\). Поскольку k(k + l) делится на 2, то л²—1 делится иа 8. Так как п не кратно 3, то либо л +1, либо л — 1 кратно 3, т. е. л² — 1 кратно 3. Следовательно, л²—1 кратно 24, т. е. я² = 24т + 1. 3.31. 4. 3.32. 15я+13. 3.33. 7. Указание. 10! делится на 42. 3.34. 7. 3.35. 11. 3.36. а) 7; б) 1. 3.37. Нет. 3.39. Указание. т² — л² = (т²— 1) — (л² — 1). Далее воспользуйтесь №38 . 3.40. б) Указание. я² + 3я = /г (я + \) + 2п. Далее используйте № 40, а. 3.42. б) Указание. я³ +11л =(я³ — я)+ 12л. Далее используйте № 42, а. 3.46. а) Решение. Пусть существует a£Z такое, что а² = 3я—1. Ясно, что а не кратно 3 (в противном случае левая часть равенства кратна 3, а правая иет). Тогда а = 3£±1, где k£Z. Имеем (3£±1)² = 3я— 1, откуда 3(3fe²±2fe — я)=—2. Пришли к противоречию, так как левая часть равенства — целое число, кратное 3, а правая иет. 3.47. 31. Решение. Поскольку три данных числа дают равные остатки при делении на л, то 2146—1991 = 155 делится на я, 1991 —1805=186 делится на л. Значит, 186—155 = 31 кратно я, ио я>1, а 31 — простое число, значит я = 31.

3.49. а) Решение. я² + я + 9 = (я + 3) (я—2)+ 15. Если я + 3 кратно 5, то и я —2 кратно 5, отсюда (я + 3)(я — 2) кратно 25 и (я + 3)(я — 2) + 15 ие кратио 25. Если же я + 3 не кратно 5, то и я—2 не кратио 5, тогда (я + 3) (я —2) не кратио 5 и (я + 3) (я—2)+15 не делится на 5, значит, и иа 25; б) Указание. я² + я+9 = =(я + 4) (п — 3) + 21. 3.50. Указание. /х² + 5я + 16 = (я — 4)²+ 13/г. 3.51. Да.

3.55. n£N. 3.57. n£N. Решение. я^б + 2я⁵ — я² — 2я = я⁵ (я + 2) —я (я + 2) = (я + 2) Х(я⁵ —я) = (я—1) я (я +1) (я + 2) (я² +1). Заметим, что я —1, я, я + 1 и я+2 — четыре последовательных натуральных числа при я> 1 (если я = 1, то данное число делится на 120, поскольку в этом случае оио равно 0). Значит, по крайней мере одно из них кратио 3 и два из них — последовательные четные числа, одно из которых делится иа 2, другое — на 4. Итак, (я — 1) я (я+1) (п +2) делится на 3 и иа 8. Если при делении я на 5 остаток равен 0, 1, 3 или 4, то число п, я— 1, п+2 и я+ 1 соответственно делитси иа 5. Если же я=5<? + 2, где q^0 — целое, то я²+1=25<7² + 20<7 + 5 кратно 5. Таким образом, (я— 1) п (я +1) (я + 2) (я²+ 1)

Сборник задач по алгебре, 8-9 класс (М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич) 2001

Страница № 228.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс