МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
«СРЕДНЯЯ ШКОЛА №8» ГОРОДА СМОЛЕНСКА
Методическая разработка урока
«Исследование корней квадратных уравнении. Решение квадратных уравнений подбором»
разработан учителем математики
Нефедовой Е.В.
2016 г.
Тема урока: Исследование корней квадратных уравнении. Решение квадратных уравнений подбором. Дидактический материал
Теорема Виета. Теорема, обратная теореме Виета
Определение квадратного уравнения
Квадратным уравнением называется уравнение вида , где -переменная, -некоторые числа.
Приведенное квадратное уравнение.
Обозначение:
Уравнение вида называется приведенным квадратным
уравнением, где — некоторые числа.
Зависимость между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения выражает, как известно, теорема Виета, получившая свое название по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета:
Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Пусть корни квадратного уравнения .
Тогда
Дано: ,
Доказать:
Доказательство:
По условию: . Значит, уравнение можно записать в виде:
Подставим вместо число , получим:
Значит, - корень уравнения.
В некоторых учебниках оба утверждения — прямое и обратное
формулированы в одном:
Для того, чтобы были корнями уравнения , необходимо и достаточно выполнения равенств: ; . Или в случае : ; .
На теореме Виета основан метод решения некоторых приведенных квадратных уравнений подбором. При этом можно использовать (легче запомнить) зарифмованную теорему Виета:
Познакомили поэта
С теоремою Виета.
Оба корня он сложил —
получил.
А корней произведенье
Дает из уравненья.
Примеры
, уравнение имеет два различных корня.
По условию > 0 ( = 20), значит корни имеют одинаковые знаки. Их сумма равна +9, значит оба корня положительные. Начинаем подбирать с произведения, 20 можно разложить на множители следующими способами:
. Условию удовлетворяет последняя пара.
Значит,
Удобно записывать решение следующим образом:
, уравнение имеет два различных корня.
, положительные
, одного знака
, уравнение имеет два различных корня.
, отрицательные
, одного знака
Исследуем, при каких значениях квадратное уравнение имеет корни, и будем использовать результат при решении уравнений подбором.
Очевидно, что . Значит, в случае, когда , дискриминант можно не находить.
Например.
( модуль отрицательного больше положительного)
, разных знаков
, уравнение имеет два различных знака
, разных знаков
Упражнения для самостоятельного решения
2. Рассмотрим квадратное уравнение , в котором сумма коэффициентов равна 0, т.е. . В этом случае уравнение имеет корень, равный 1. Докажем это.
Дано:
Доказать:
Доказательство:
Воспользуемся определением корня уравнения. Подставив в уравнение
вместо число 1, получим: , т.е. . По условию, полученное равенство является верным. Таким образом, сталкиваясь с квадратным уравнением, решение которого требует громоздких вычислений, полезно выяснить, не выполняется ли равенство . Это свойство помогает также быстро решать квадратные уравнения
Например.
Ответ: 1; 0,5
Ответ: 1;
Ответ: 1;
В случае приведенного квадратного уравнения полезно запомнить следующую закономерность:
т.е. числа и последовательные по модулю числа
В этом случае:
Вывод: если в приведенном квадратном уравнении числа и последовательные по модулю, то
Упражнения для самостоятельного решения
Рассмотрим случай, когда выполняется следующее условие для корней квадратного уравнения: . В этом случае квадратное уравнение имеет корень, равный (—1). Докажем это.
Дано:
Доказать:
Доказательство:
Подставим в уравнение вместо число (-1). Получим:
- верно по условию. Значит .
Примеры
-
-
-
Ответ: -1;
-
-
-
Ответ: -1;
В случае приведенного уравнения условие записывается
следующим образом: .
Т.е. - последовательные числа, при чем .
Таким образом, можно сделать следующий вывод; если в приведенном квадратном уравнении — последовательные числа (), то .
Например
Упражнения для самостоятельного решения
III. Схема решений квадратных уравнений подбором
Теорема Виета
(оба корня сложил, получил)
(а корней произведенье дает из уравненья)
Условия: - последовательные числа
-
Биография Виета Франсуа
Франсуа Виет родился в 1540 г. во Франции в Фонтене-ле-Конт. По образованию юрист. Много занимался адвокатской деятельностью. В свободное время занимался математикой, астрономией. Детально изучил труды как древних, так и современных ему математиков. Франсуа Виет по существу создал новую алгебру, ввел в нее буквенную символику. •
Все мы знаем, что для решения квадратных уравнений имеются готовые формулы. До Ф. Виета решение каждого квадратного уравнения выполнялось по своим правилам в виде длинных словесных рассуждений и описаний, довольно громоздких действий. Да и само уравнение записывалось в виде довольно длинных словесных описаний. Общих правил, подобных современным, а тем более формул решения уравнений не было. Постоянные коэффициенты буквами не обозначались. Рассматривались выражения только с конкретными числовыми коэффициентами.
Виет ввел в алгебру буквенную символику. После этого открытия стало возможным записывать правила в виде формул. Ф. Виет очень подробно изложил в своих трудах теорию решения уравнений с первой по четвертую степень. Большой заслугой Виета было открытие зависимости между корнями и коэффициентами уравнений приведенного вида произвольной натуральной степени. Ф. Виет дал первое в Европе аналитическое (с помощью формулы) представление числа .
Умер Ф. Виет в возрасте 63 лет в 1603 году.
Тренировочные таблицы
-
